SOLUÇÃO PARA OS PROBLEMAS 2

Um conjunto possui 18 elementos. Quais as possibilidades existentes para se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

Resposta: As possibilidades estão apresentadas na tabela abaixo:

1 grupo com 18 elementos
2 grupos com 9 elementos em cada grupo
3 grupos com 6 elementos em cada grupo
6 grupos com 3 elementos em cada grupo
9 grupos com 2 elementos em cada grupo
18 grupos com 1 elemento em cada grupo

O conjunto dos divisores de 18 é D(18)={1,2,3,6,9,18}.

De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural n?

Resposta: O conjunto dos números naturais é N={0,1,2,3,4,5,...}. Se n é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por cada elemento de N será: M(n)={0,n,2n,3n,4n,...}.

Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

Resposta: O conjunto de múltiplos de 0 possui apenas um elemento e é denotado por M(0)={0}, pois M(0)={0x0,0x1,0x2,0x3,0x4,0x5,...}.

Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

Para obter os divisores de um número natural a, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base nessa afirmação, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: 13, 18. 25, 32 e 60.

Resposta: D(13)={1,13}, D(18)={1,2,3,6,9,18}, D(25)={1,5,25}, D(60)={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} e D(32)={1,2,4,8,16,32}. Obtivemos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado 32:
1×32=32; 2×16=32; 4×8=32, 8×4=32, 16×2=32, 32×1=32.

Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

Resposta: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante, etc...

João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

Quando possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

5×(  ) = 20
(  )×3 = 18
4×(  ) = 10
(  )÷2 =  8
3÷(  ) =  4
(  )÷3 =  4

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.

Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:

1 ovo  = R$  6,00
2 ovos = R$ 11,00
3 ovos = R$ 15,00
4 ovos = R$ 18,00

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

Quantos ele pagou pela compra de 11 ovos?
Quantos ele pagaria se comprasse 177 ovos?
Sem promoção, quanto ele pagaria
   a mais pela compra dos 177 ovos?

Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 11 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3.
Custo=R$18,00+R$18,00+R$15,00=R$51,00.
Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: 177=4×44+1
Custo=44×R$18,00+R$6,00=R$798,00.

Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

(a) 49
(b) 37
(c) 12
(d) 11

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo de 2, 3, 4 e 6.

Qual é o menor número primo com dois algarismos?

Resposta: O número 11.

Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

Resposta: O número 13.

Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?

Resposta: O número 103.

Qual é o valor do número natural b, tal que 64=b×b×b?

Resposta: R³[64]=4, pois 64=b×b×b, ou seja, 64=b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b=4.

Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.

R[9]=3   2³=8   R³[8]=2  R[16]=4  5²=25

Exiba todos os números primos existentes entre 10 e 20?

Resposta: 11, 13, 17 e 19.

Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

Resposta: 18, 12, ... A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obtermos números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: 2×2×3=12, 3×3×2=18, 2×2×3×3×3=108.

Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

Resposta: 9 quadradinhos.

Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3².

Resposta: 3²=9.

De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

Resposta: 27 cubinhos.

Qual o valor de 3³ (3 elevado ao cubo)?

Resposta: 3³=27.